solve and problem input - output analysis

V . INPUT – OUTPUT ANALISYS ( ANALISA MASUKAN – KELUARAN )
Salah satu terapan  Aljabar matriks adalah analisis masukan – keluaran . Analisis Masukan - keluaran ini diperkenalkan oleh seorang Ahli matematika yang bernama Prof Leontief  pada tahun 1936 .
Prinsip dasar dalam analisis masukan -   keluaran adalah , bagaimana caranya  menentukan agar setiap n sektor dalam proses ekonomi tepat memproduksi sejumlah jenis barang untuk dapat memenuhi permintaan dari sektor – sektor lain dan sisanya untuk keperluan masyarakat ( permintaan akhir ) .
Kesimpulan yang dapat ditarik ialah bahwa setiap sektor dalam perekonomian saling berkaitan , dengan kata lain  sektor yang satu tergantung pada sektor yang lain . Misalnya  perekonomian suatu daerah dinyatakan dengan ketergantungan antara sektor pertanian , sektor pabrikasi dan sektor jasa . Ketergantungan antara ketiga sektor dapat dilihat pada tabel berikut ini :

	Pabrikasi	Pertanian	Jasa	Permintaan Akhir	Jumlah keluaran
Pabrikasi	30	50	10	60	150
Pertanian	20	60	30	90	200
Jasa	10	40	50	80	180

Penjelasan tabel diatas sebagai berikut :
1.Menurut baris :
a. Keluaran untuk sektor pabrikasi sebanyak 150  unit yang digunakan untuk :
Sektor Pabrikasi itu sendiri sebanyak                30 unit
Sektor pertanian sebanyak                                50 unit
Sektor Jasa sebanyak                                       10 unit
Sedangkan sisanya untuk permintaan akhir      60 unit
b.Keluaran untuk sektor Pertanian sebanyak  200 unit yang digunakan untuk :
Sektor Pabrikasi  sebanyak                               20 unit
Sektor Pertanian itu sendiri  sebanyak              60  unit
Sektor Jasa sebanyak                                       30 unit
Sisanya untuk permintaan akhir sebanyak        90 unit        
c.Keluaran untuk sektor jasa sebanyak 180 unit yang digunakan untuk :       
Sektor Pabrikasi sebanyak                                10  unit
Sektor Pertanian sebanyak                                40 unit
Sektor Jasa itu sendiri sebanyak                        50 unit
Sisanya untuk permintaan akhir sebanyak         80 unit  
Metode untuk menyelesaikan Analisis  masukan – keluaran sebagai berikut :
Misalkan keluaran  sektor ke-i sebanyak  digunakan untuk n sektor dan sisanya ,
 koefisien masukan sektor ke –i dan keluaran sektor ke – j dimana
I = 1,2 , 3,… , n dan j = 1, 2 ,3 …,n ) . Jumlah keluaran sektor  ke i dinyatakan dengan persamaan :
 =
 =
 =
.
.
.
 =  , persamaan ini dapat dituangkan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
 atau X = AX + C dimana X =  ; C =
Dan A =  maka untuk menentukan nilai X dapat dihitung dengan menggunakan formula berikut ini :
X dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :
X = AX + C
X – AX = C  matriks satuan berdimensi n x n
I - A = matriks Teknologi berdimensi n x n
A = matriks koefisien berdimensi n x n
C = matriks permintaan akhir
I – A bukan matriks singular atau | I – A |  sehingga X = C .
Dengan demikian dapatlah ditentukan jumlah keluaran setiap sektor yaitu :
X =  
Soal :
Hitunglah X jika diketahui :
A =   ; C = 
Solusi :
I- A =  -    I – A = 
X = C    dapat dihitung sebagai berikut :
   =  maka terlebih dahulu ditentukan |I-A| dengan Matlab programe
|I-A| =[0.7,-0.4,-0.2 ; -0.2,1,-0.5;-0.1,-0.3,0.9];
>> det(I-A)
ans =
    0.4010 sedangkan adj (I-A ) dihitung dengan menggunakan formula ( )’ sehingga terlebih dahulu ditentukan Matriks Kofaktornya sebagai berikut :
 I – A =
= 0,75   =  0,23
= 0,16 ; = 0,42 ;  = 0,61 ; =  0,25
= 0,4 ; = 0,39  ;  = 0,62. sehingga matriks kofaktornya adalah :
(I-A)’ =      =
      = 
X= =   
   =       =